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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{9-2-复数域和实数域上的二次型 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{9.2.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(9.2)\#1,2,3,5,6,7, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item[9.2.1.] 复二次型和实二次型的定义和例子
\item[9.2.4.] 定理9.2.1. 复对称阵的合同标准形、复二次型的典范形式
\item[9.2.6.] 定理9.2.2. 实对称阵的合同标准形
\item[9.2.7.] 定理9.2.3. 实二次型的典范形式
\item[9.2.9.] 定理9.2.4. 惯性定理
\item[9.2.11.] 定理9.2.5.a. 两个实二次型等价的必要条件
\item[9.2.12.] 定理9.2.5.b. 两个实二次型等价的充分条件
\item[9.2.13.] 实二次型的分类

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{9.2.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  复对称阵的合同标准形、复二次型的典范形式
\item  实对称阵的合同标准形、实二次型的典范形式
\item  实二次型的惯性定理
\item  实二次型的正惯性指数、负惯性指数与符号差
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.1. 复二次型和实二次型的定义和例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：什么是实二次型，什么是复二次型？}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  系数在实数范围内取值的二次型称为实二次型。
\item  系数在复数范围内取值的二次型称为复二次型。
\item  所有实二次型都可以看作是复二次型。
\item  实二次型的例子如 $q(x,y,z) = x^2+4xy+3y^2+5y^2+6yz+7z^2$.  
\item  复二次型的例子如 $q(x,y,z) = (1+2i)x^2+(3+4i)xy+(5+6i)z^2$. 

\end{enumerate} 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.2. 对称阵的合同变换 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：什么是对称阵的合同变换？}

\item  解答：

\begin{enumerate}

\item  对对称矩阵相继进行相同的行初等变换与列初等变换，称为合同变换。

\item  例如，记 $r_1$ 与 $r_2$ 为矩阵的第1行与第2行，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&5&7 \\ 3&7&8  \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{r_2= r_2-2r_1}
\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&1&1 \\ 3&7&8  \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{c_2=c_2-2c_1}
\begin{pmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&1 \\ 3&1&8  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}


\item  对称矩阵经过合同变换，仍然得到对称矩阵。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.3. 定理9.2.1.a. 二阶复对称阵的合同标准形 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：任意二阶对称矩阵，在复数范围内，都合同于下述三个矩阵之一，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  先将所给的对称矩阵合同于对角矩阵。
\item  在复数范围内，将对角矩阵合同于上述三个矩阵之一。
\item  例如，在复数范围内，可以进行下述合同变换，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&-3  \end{pmatrix}
\xrightarrow[r_2= r_2/\sqrt{-3}]{r_1= r_1/\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} \sqrt{2}&0 \\ 0&\sqrt{-3}  \end{pmatrix}
\xrightarrow[c_2= c_2/\sqrt{-3}]{c_1= c_1/\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
%这里 $r_1$ 与 $c_1$ 是指矩阵的第1行与第1列。

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.4. 定理9.2.1.b. 任意阶复数对称矩阵的合同标准形 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理：任意复数对称矩阵 $A$ 都合同于标准形\, 
{\footnotesize $$P^tAP=\begin{pmatrix} E_r&O \\ O&O \end{pmatrix},$$ }
其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。
}

\vspace{0.3cm}

\item 证明：思路同二阶矩阵。

\vspace{0.3cm}

\item  注：复二次型 $q_1(X)=X^tAX$ 等价于典范形式 $$q_2(Y)=y_1^2+\cdots+y_r^2, $$ 
其中 $r$ 是二次型 $q_1(X)$ 的秩。 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.5. 定理9.2.2.a. 二阶实对称阵的合同标准形 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：任意二阶实数对称矩阵，在实数范围内，都合同于下述矩阵之一：
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} -1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}, \hspace{0.1cm}
\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  先将所给的对称矩阵合同于对角阵。
\item  在实数范围内，将对角矩阵合同于上述矩阵之一。
\item  例如，在实数范围内，可以进行下述合同变换，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&-3  \end{pmatrix}
\xrightarrow[r_2= r_2/\sqrt{3}]{r_1= r_1/\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} \sqrt{2}&0 \\ 0&-\sqrt{3}  \end{pmatrix}
\xrightarrow[c_2= c_2/\sqrt{3}]{c_1= c_1/\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.6. 定理9.2.2.b. 任意阶实对称阵的合同标准形 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理： }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 在实数范围内，任意实对称阵 $A$ 都合同于标准形
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} E_p&O&O \\ O&-E_q&O \\ O&O&O \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
}

%\item  {\color{red} 两个实对称矩阵是合同的当且仅当它们的秩 $r=p+q$ 与符号差 $s=p-q$ 对应相同。}
\item  {\color{red} 矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)=p+q$. } 
\end{enumerate}

%\item 定义：称 $p,q$ 分别为这个矩阵的正、负惯性指数，称 $p-q$ 是符号差。 

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  先合同于对角阵，再合同于上述形式的矩阵。
\item  乘以一个可逆阵，不改变矩阵的秩。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.7. 定理9.2.3. 实二次型的典范形式 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理：设 $q_1(X)=X^tAX$ 是一个实二次型，则存在实数域上的非奇异的变量代换 $X=PY$ 使得
$q_2(Y)=q_1(PY)=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2,$
其中 $r$ 是二次型 $q_1(X)$ 的秩。
}

\vspace{0.3cm}

\item 证明一：直接寻找变量代换。
\begin{enumerate}
\item  用配方法，寻找变量代换，将实二次型化为只含平方项。
\item  继续寻找变量代换，将平方项的系数化为 $1$ 或 $-1$.
\end{enumerate}

\item 证明二：使用矩阵的合同变换。
\begin{enumerate}
\item  写出实二次型 $q_1(X)$ 对应的实对称阵 $A$, 将其合同于标准形 $B=P^tAP$. 
\item  写出合同标准形 $B$ 对应的实二次型 $q_2(Y)$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.8. 定理9.2.4.a. 惯性定理的简易版本 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：考虑两个二次型 $q_1=x_1^2+x_2^2-x_3^2$ 和 $q_2=y_1^2-y_2^2-y_3^2$. }
\begin{enumerate}
\item  {\color{red} 在复数范围内，通过非退化的变量代换，互相转化这两个二次型。}
\item  {\color{red} 证明在实数范围内，这两个二次型不能够相互转化。}
\end{enumerate}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  取变量代换 $y_1 = x_1$, $y_2 = ix_2$, $y_3 = x_3$ 即得。 

\item  
\begin{enumerate}
\item  设实现转化的变量代换为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y_1 &=& a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3, \\
y_2 &=& b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3, \\
y_3 &=& c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}
\item  取不全为零的 $(x_1,x_2,x_3)$ 使得 $x_3=0$ 与 $y_1=0$ 同时成立。
\item  这时有 $q_1>0$ 与 $q_2\le 0$ 同时成立。这是矛盾的。
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.9. 定理9.2.4.b. 惯性定理的叙述 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 定理：设实二次型 $q_1(X)=X^tAX$ 经过实数非奇异变量代换，分别化为 
\begin{align*}
q_2(y_1,\cdots, y_n) &= y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2, \\ 
q_3(z_1,\cdots, z_n) &= z_1^2 + \cdots + z_t^2 - z_{t+1}^2 - \cdots - z_r^2. 
\end{align*}
那么必有 $p=t$. 
}

\vspace{0.5cm}

\item  注：因为这个定理，所以可以对实二次型 $q_1(X)$ 定义下述特征：
\begin{enumerate}
\item  称 $p$ 为正惯性指数。
\item  称 $q=r-p$ 为负惯性指数。
\item  称 $s=p-q$ 为符号差。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.10. 定理9.2.3.b. 惯性定理的证明 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  设将实二次型 $q_2(Y)$ 转化为实二次型 $q_3(Z)$ 的实数非奇异变量代换为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
z_1 &=& k_{11}y_1+k_{12}y_2 + \cdots + k_{1n} y_n, \\
z_2 &=& k_{21}y_1+k_{22}y_2 + \cdots + k_{2n} y_n, \\
\cdots & & \cdots \\ 
z_n &=& k_{n1}y_1+k_{n2}y_2 + \cdots + k_{nn} y_n. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
}
\item  设 $p<t$, 则存在不全为零的 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 使得下述同时成立，
\begin{eqnarray*}
&& y_1=\cdots=y_p=0, \\ 
&& z_{t+1}=\cdots=z_n=0. 
\end{eqnarray*}
这时有 $q_2<0$ 与 $q_3\ge 0$ 同时成立。这是矛盾的。

\item  设 $p>t$, 类似可得矛盾。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.11. 定理9.2.5.a. 两个实二次型等价的必要条件 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：如果两个实二次型等价，那么它们的秩与符号差对应相等。}

\item 证明：
 
\begin{enumerate}

\item  设 $q_1(X)=X^tAX$ 与 $q_2(Y)=Y^tBY$ 是两个等价的实二次型。

\item  根据等价的定义，存在实数可逆矩阵 $P$ 使得 $q_1(PY)=q_2(Y)$. 

\item  从  $q_1(PY)=q_2(Y)$ 可得 $B=P^tAP$. 

\item  因为$P$ 是可逆矩阵 ，所以 $A$ 与 $B$ 的秩相等，记为 $r$. 

\item  根据二次型的秩的定义，二次型 $q_1$ 与 $q_2$ 有相同的秩。

\item  根据实二次型的标准型定理，存在实数可逆矩阵 $Q$ 与 $R$ 使得 

\vspace{-0.7cm}
{\footnotesize 
\begin{align*}
q_1(QZ) &= z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_r^2, \\ 
q_2(RW) &= w_1^2 + \cdots + w_t^2 - w_{t+1}^2 - \cdots - w_r^2. 
\end{align*} 
}
\vspace{-0.7cm}

\item  因为 $q_1(QZ)=q_2(RW)$, 根据惯性定理，必有 $p=t$, 即正惯性指数相等。

\item  因为这两个二次型的秩已相等，所以符号差也相等。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.12. 定理9.2.5.b. 两个实二次型等价的充分条件 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：如果两个实二次型的秩与符号差对应相等，那么它们等价。}

\item 证明：

\begin{enumerate}

%\item  设 $q_1(X)=X^tAX$ 与 $q_2(Y)=Y^tBY$ 是两个实二次型。

\item  设两个实二次型 $q_1(X)$ 与 $q_2(Y)$ 的秩都是 $r$, 符号差都是 $s$. 

\item  根据符号差的定义，可得 $q_1$ 与 $q_2$ 的正惯性指数都是 $p=(r+s)/2$. 

\item  所以 $q_1$ 与 $q_2$ 都等价于实二次型 $q_3(Z) = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_r^2$. 

%\item  所以 $A$ 与 $B$ 都合同于同一个标准形 $\text{diag}\{E_p, E_q, O\}$. 

%\item  因为矩阵的合同关系是等价关系，所以 $A$ 与 $B$ 也合同。

\item  根据等价关系的传递性，可得实二次型 $q_1$ 与 $q_2$ 是等价的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{9.2.13. 实二次型的分类}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 问题：写出所有三元实二次型的标准型。}

\item 解答：先根据秩进行分类，再根据正惯性指数进行分类。

{\footnotesize 
\begin{center}
\begin{tabular}{|M{3cm}|M{3cm}|M{4cm}|} \hline
秩 & 正惯性指数 & 二次型 \\ \hline 
3&3& $z_1^2+z_2^2+z_3^2$ \\ \hline 
3&2& $z_1^2+z_2^2-z_3^2$ \\ \hline 
3&1& $z_1^2-z_2^2-z_3^2$ \\ \hline 
3&0& $-z_1^2-z_2^2-z_3^2$ \\ \hline 
2&2& $z_1^2+z_2^2$ \\ \hline 
2&1& $z_1^2-z_2^2$ \\ \hline 
2&0& $-z_1^2-z_2^2$ \\ \hline 
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}
}

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|cccccccccc|} \hline
%秩 &3&3&3&3&2&2&2&1&1&0  \\ \hline 
%正惯性指数 &3&2&1&0&2&1&0&1&0&0 \\ \hline  
%\end{tabular}
%\end{center}

%例如，第二个标准型为
%\begin{eqnarray*}
%\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.
%\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 $S$ 是复数对称矩阵，证明存在复数矩阵 $A$ 使得 $$S=A^tA. $$ 
}

\item 思路：在复数域上将矩阵 $S$ 合同于对角矩阵。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#2 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  
{\color{red} 问题：设 $A$ 是可逆的六阶复数对称矩阵。证明存在复数可逆矩阵 $P$ 使得
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
P^tAP = 
\begin{pmatrix}
0&0&0&1&0&0  \\ 
0&0&0&0&1&0  \\ 
0&0&0&0&0&1  \\ 
1&0&0&0&0&0  \\ 
0&1&0&0&0&0  \\ 
0&0&1&0&0&0  \\ 
\end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
}

\item 思路：在复数范围内，所有六阶可逆矩阵都合同于六阶单位矩阵。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#3 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 $A$ 是可逆的四阶实数对称矩阵。证明存在实数可逆矩阵 $P$ 使得 $P^tAP$ 为下述矩阵之一，
{\footnotesize  
\begin{eqnarray*}
%\begin{pmatrix} 1&0&0&0  \\  0&1&0&0  \\  0&0&1&0  \\  0&0&0&1  \\  \end{pmatrix}. 
E_4, \,\, 
\begin{pmatrix} 0&1&0&0  \\  1&0&0&0  \\  0&0&1&0  \\  0&0&0&1  \\  \end{pmatrix}, \,\, 
\begin{pmatrix} 0&0&1&0  \\  0&0&0&1  \\  1&0&0&0  \\  0&1&0&0  \\  \end{pmatrix}, \,\, 
\begin{pmatrix} 0&1&0&0  \\  1&0&0&0  \\  0&0&-1&0  \\  0&0&0&-1  \\  \end{pmatrix}, \,\,   
%\begin{pmatrix} -1&0&0&0  \\  0&-1&0&0  \\  0&0&-1&0  \\  0&0&0&-1  \\  \end{pmatrix}. 
-E_4. 
\end{eqnarray*}
}
}

\item 思路：因为矩阵 $A$ 可逆，所以秩为4. 按正惯性指数分情况讨论。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#5 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：证明实对称阵 $A$ 与 $B$ 合同，并求可逆实数矩阵 $P$ 使得 $P^tAP=B$, 
{\footnotesize  
\begin{eqnarray*}
%\begin{pmatrix} 1&0&0&0  \\  0&1&0&0  \\  0&0&1&0  \\  0&0&0&1  \\  \end{pmatrix}. 
A=\begin{pmatrix} 5&4&3  \\  4&5&3  \\  3&3&2  \\  \end{pmatrix}, \,\, 
B=\begin{pmatrix} 4&0&-6  \\  0&1&0  \\  -6&0&9  \\  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
}

\item 思路：先将这两个矩阵分别合同于对角阵。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#6 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：确定实二次型 $x_1x_2+x_3x_4+x_5x_6$ 的秩与符号差。
}

\item 思路：将相应的实对称阵合同于对角阵。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{习题(9.2)\#7 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：确定实二次型 $xy+yz+zx$ 的秩与符号差。
}

\item 思路：将相应的实对称阵合同于对角阵。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}










